《雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》說課教案
牡丹江第一高級中學(xué) 姜萍
各位專家，各位老師：
大家好！我叫姜萍，來自于牡丹江市第一高級中學(xué)。很高興能在這里和大家進(jìn)行交流。 我說課的題目是《雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》，內(nèi)容選自于北師大版《高中數(shù)學(xué)實驗教材》高二下冊第九章第二單元第一小節(jié)，課時安排為兩課時，本課內(nèi)容為第一課時。下面我將從教材分析與處理、教學(xué)方法與手段、教學(xué)過程與設(shè)計、教學(xué)設(shè)計想法說明四大方面來闡述我的教學(xué)設(shè)想。
一、 教材分析與處理
1、 教材的地位與作用
學(xué)生初步認(rèn)識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學(xué)習(xí)是對其研究內(nèi)容的進(jìn)一步深化和提高。如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學(xué)習(xí)就會順理成章。所以說本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，橫向為雙曲線的簡單性質(zhì)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。
2、 學(xué)生狀況分析：
學(xué)生在學(xué)習(xí)這節(jié)課之前，已掌握了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，也曾經(jīng)嘗試過探究式的學(xué)習(xí)方式，所以說從知識和學(xué)習(xí)方式上來說學(xué)生已具備了自行探索和推導(dǎo)方程的基礎(chǔ)。另外，高二學(xué)生思維活躍，敢于表現(xiàn)自己，不喜歡被動地接受別人現(xiàn)成的觀點，但同時也缺乏發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的意識。
根據(jù)以上對教材和學(xué)生的分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知規(guī)律我希望學(xué)生能達(dá)到以下三個教學(xué)目標(biāo)。
3、 教學(xué)目標(biāo)
（1） 知識與技能：理解雙曲線的定義并能獨立推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2） 過程與方法：通過定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究 ，使學(xué)生進(jìn)一步體驗類比及數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用，提高學(xué)生的觀察與探究能力；
（3） 情感態(tài)度與價值觀：通過教師指導(dǎo)下的學(xué)生交流探索活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點認(rèn)識問題。
4． 教學(xué)重點、難點
依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，確定本節(jié)課的重點是理解和掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。難點是雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。
5、 教材處理：
我對教學(xué)內(nèi)容作了一點調(diào)整：教材中是借用細(xì)繩畫出的雙曲線圖形，而我改用幾何畫板畫出雙
曲線圖形。因為相比之下，幾何畫板更為形象直觀。通過幾何畫板，學(xué)生不僅可看到雙曲線形
成的過程，而且較易看出橢圓與雙曲線形成的聯(lián)系和區(qū)別。
二、 教學(xué)方法與教學(xué)手段
1、 教學(xué)方法
著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“學(xué)習(xí)任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。”
雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓很類似，學(xué)生已經(jīng)有了一些學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗， 所以本節(jié)課我
采用了“啟發(fā)探究”式的教學(xué)方法，重點突出以下兩點：
（1） 以類比思維作為教學(xué)的主線
（2） 以自主探究作為學(xué)生的學(xué)習(xí)方法
2、 教學(xué)手段
采用多媒體輔助教學(xué)。體現(xiàn)在用幾何畫板畫雙曲線。但不是單純用動畫演示給學(xué)生看，而是用動畫啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。
三、 教學(xué)過程與設(shè)計
為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更好地突出重點，分散難點，我把教學(xué)過程分為四個階段。
（一） 知識引入---- 知識回顧、觀察動畫、概括定義
在課的開始我設(shè)置了這樣幾個問題，以幫助學(xué)生進(jìn)行知識回顧：
（1） 橢圓的第一定義是什么？定義中哪些字非常關(guān)鍵？
（2） 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？
（3） 如何判斷焦點位置？a、b、c是何種關(guān)系？（片）
通過回顧，既檢測了學(xué)生對前面知識的掌握情況，同時又為下面雙曲線的學(xué)習(xí)做好鋪墊。之后，
告訴學(xué)生：今天要學(xué)習(xí)一種新的曲線。
打開幾何畫板，首先通過動畫讓學(xué)生再一次回顧橢圓的生成過程，然后改變圖中的條件，將
距離變大，動畫生成一種新的曲線，學(xué)生易看出該曲線為雙曲線。
雙曲線的定義其實就是動點所滿足的關(guān)系，那么雙曲線的定義是什么？也就是動點所滿足的關(guān)系是
什么？這個問題可讓學(xué)生進(jìn)行探究。
解決這個問題有兩個難點：一是距離的運(yùn)算關(guān)系的得出；二是運(yùn)算關(guān)系的簡化。
在探究中，學(xué)生類比橢圓會想到動點到兩定點的距離差為定值，會認(rèn)為這個定值必是正值，而忽視
了距離差為負(fù)值的情況，這樣實質(zhì)上只能得到雙曲線的一支。對于這種情況，我采取啟發(fā)引導(dǎo)，把
P從一支移到另一支，然后讓學(xué)生再次思考自己得到的關(guān)系是否正確。在引導(dǎo)下，學(xué)生會想到自己缺少
一種情況，動點到兩定點的距離差為正值或正值的相反數(shù)。但這個關(guān)系能不能加以簡化？學(xué)生這個時候
會聯(lián)想到利用絕對值進(jìn)行簡化。這樣就得到了動點所滿足的較為精煉的關(guān)系，也就是得到了雙曲線的
定義。
這一設(shè)計讓學(xué)生先形象直觀地看到橢圓與雙曲線的形成過程，在此基礎(chǔ)上，再通過教師的引導(dǎo)，學(xué)
生就可在觀察思考中一步一步地由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，最終得到雙曲線定義，從而培養(yǎng)了學(xué)生的
觀察能力及概括能力。另外，這一設(shè)計也在形的方面實現(xiàn)了橢圓與雙曲線的比較，也為下面雙曲線定義
的挖掘及兩種曲線的對比打下基礎(chǔ)。
隨著雙曲線定義的得出，教學(xué)進(jìn)入第二階段---知識探索
（二） 知識探索---- 定義的挖掘、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、方程的對比
1、定義的挖掘
在這一環(huán)節(jié)中，我們要認(rèn)識到定義中的絕對值和兩點間距離與常數(shù)的大小關(guān)系二者對曲線的影響。
首先，我設(shè)置了這樣兩個問題：
（1）類比橢圓尋找雙曲線定義中的關(guān)鍵字；
（2）若分別去掉這幾個關(guān)鍵字曲線會發(fā)生怎樣變化？（片）
然后讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行合作探究，教師可適當(dāng)引導(dǎo)，對于學(xué)生難以理解的地方適時給予幫助指導(dǎo)。
雖然學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓定義時也接觸過類似問題，但雙曲線較為復(fù)雜，比如 ：增加了“絕對值”等等。學(xué)生要獨立完成會較為困難，所以采取合作探究。這個過程既可以加深學(xué)生對定義的理解，又讓可學(xué)生在相互交流中互相啟發(fā)、激勵、共同進(jìn)步提高，從而培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力和協(xié)作能力。
在得出結(jié)論后，我又為學(xué)生提供了以下題目：
請說出下列方程對應(yīng)曲線的名稱：
（3）
（雙曲線）
（4）
（雙曲線右支）
（5）
（橢圓）
（6）
（以（0，4）為端點，沿著y軸正向的一條線）（片）
這些題目由淺入深，前面兩題學(xué)生可由雙曲線定義直接認(rèn)識到動點的幾何含義，后四題需根據(jù)兩點間距離公式及橢圓雙曲線定義間接認(rèn)識到動點的幾何含義。這樣設(shè)置有了過渡，學(xué)生不會覺得跨度很大，處理起來比較順手。通過這些題的練習(xí)可以加深學(xué)生對定義的理解，更重要的這些題目就是學(xué)生對自己研究結(jié)果的應(yīng)用。讓學(xué)生體驗到應(yīng)用自己探究果實的喜悅，對學(xué)生來說是一種激勵，一舉兩得。
2、 標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的難點，為了突破它，我設(shè)置了這樣幾個問題讓其貫穿推導(dǎo)過程以將難點分解：
（1） 回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟及方法；
（2） 類比橢圓試著推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3） 換元處理與橢圓有沒有區(qū)別？
（4） 猜證雙曲線焦點在 y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程。（片）
然后讓學(xué)生獨立完成推導(dǎo)過程。
這樣設(shè)置的目的是考慮到由定義求方程，就是求軌跡方程的問題，并且雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程
與橢圓十分類似，學(xué)生有能力獨立完成。但在由于化簡根式時運(yùn)算量較大，處理起來很可能出現(xiàn)一些運(yùn)
算錯誤。另外，變形時絕大多數(shù)學(xué)生會想到先移項再平方，少部分學(xué)生會直接平方。若直接平方，就會
出現(xiàn)4次方，較為復(fù)雜。如果在實際教學(xué)中，有學(xué)生提出這種做法，我會讓然后讓大家參與分析討論，
看看哪種做法更為簡便。以讓學(xué)生認(rèn)識到今后在變形前要考慮清楚不要盲目去做。
整個這個推導(dǎo)過程，不僅提高了學(xué)生的變形能力、運(yùn)算能力，而且也提高學(xué)生的分析問題和解決問題
的能力。
3、 方程的對比
此時，學(xué)生接觸的方程已比較多，很容易混淆，有必要加以對比。
我引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下兩組對比：（1）雙曲線方程的兩種形式的對比；（2）橢圓方程與雙曲線方程
的對比。（片）
對比時會讓學(xué)生注意方程結(jié)構(gòu)的區(qū)別和聯(lián)系，比如說：到底是平方差還是平方和。另外，還要注意
橢圓方程和雙曲線方程都涉及到的三個量a、b、c它們的區(qū)別和聯(lián)系。
對比后，學(xué)生可初步的分清四個標(biāo)準(zhǔn)方程及知道如何判斷a、b 、c。
之后，我又準(zhǔn)備了這樣一組題：
請說出下列方程所表示曲線的焦點位置及a、 b 、c的值：
（片）
可以檢測學(xué)生對四個方程的掌握程度。學(xué)生處理時，前三題起來會比較順利，第4題很可能出現(xiàn)
問題。因為需變成標(biāo)準(zhǔn)形式之后再判斷焦點位置及a、b、c的值。
（三）知識應(yīng)用----例題與鞏固練習(xí)
1、例題：
在本環(huán)節(jié)中我為學(xué)生準(zhǔn)備處理兩道例題，例題可由學(xué)生講解，教師指導(dǎo)補(bǔ)充。
例1、 已知雙曲線焦點的坐標(biāo)為
，雙曲線上一點P到
的距離的差的
絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
這道題難度不大，可直接利用定義求標(biāo)準(zhǔn)方程。也可以按求軌跡方程的方法求標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生
不會出現(xiàn)太大問題。但是要向?qū)W生指明，如果某種軌跡適合某種曲線的定義，就不必再用列方程求解，
只要利用定義求出常規(guī)待定函數(shù)即可。
例2、 已知雙曲線的焦點在y 軸上，并且雙曲線上兩點
的坐標(biāo)為
求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（片）
這道題可采用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程。本題中雙曲線焦點在y軸上，學(xué)生在求解過程中很可能會
忽視這個條件，易將方程設(shè)成焦點在x軸的。教師可及時加以強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生注意審題，以培養(yǎng)學(xué)生緊密
的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。
設(shè)置兩道題是考慮到他們都來源于教材，緊緊圍繞雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，題目典型而且也有
梯度，可使學(xué)生初步掌握定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。
2、 鞏固練習(xí)
練習(xí)是學(xué)習(xí)活動中不可缺少的環(huán)節(jié)，可鞏固對知識的理解，在這一環(huán)節(jié)我為學(xué)生準(zhǔn)備了三道
練習(xí)題。
（1）已知雙曲線的實軸長為6，焦距為10，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A.
B.
C.
或
D.
或
此題是求焦點不確定的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生易忽視焦點在y軸的情況，通過此題的練習(xí)可以提醒
學(xué)生考慮問題要全面。
（2）已知方程
表示雙曲線，求m取值范圍。
此題限制條件為m+2 和m+1同號，但會有一些學(xué)生會認(rèn)為它們均大于0，忽視了均小于0
的情況，因此會丟解，所以通過這道題的練習(xí)會提醒學(xué)生考慮問題要認(rèn)真、全面，同時又可加深學(xué)
生對定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的理解。
（3）相距
在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B處遲4s。試判斷爆炸點在什么上，并求出曲線的方程。（片）
這道題是從生活中提煉出的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計此題的目的是想通過練習(xí)題的解決可以加強(qiáng)學(xué)生的
應(yīng)用能力及應(yīng)用意識，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)是源于生活，服務(wù)于生活的辨證唯物主義觀點。
（四）知識小結(jié)----歸納知識與布置作業(yè)
1、知識總結(jié)：
（1）雙曲線的定義 （與橢圓的區(qū)別）
（2）標(biāo)準(zhǔn)方程 （兩種形式）
（3）焦點位置的判斷 （與橢圓的區(qū)別）
（4）a 、b、 c的關(guān)系（與橢圓的區(qū)別）（片）
在課的尾聲，我讓學(xué)生對本節(jié)課進(jìn)行了總結(jié)。目的是幫助他們認(rèn)清這節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)， 培
養(yǎng)他們的歸納總結(jié)能力。
2、 作業(yè)：
（1） 用表格形式整理雙曲線與橢圓的區(qū)別和聯(lián)系
（2） 142頁第1、2題
（3） （選做）M是雙曲線
上一點，
是雙曲線的焦點，
，求
的面積。若使雙曲線的方程和角度任意變化，你能得出一般性的結(jié)論？（片）
教學(xué)內(nèi)涵不局限于課堂，為了幫助學(xué)生課下能夠繼續(xù)探索和研究，我設(shè)置了幾組不同層次的作
業(yè)，以幫助學(xué)生鞏固對定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，同時可全面照顧到不同層次的學(xué)生，激發(fā)他們的能動性。
板書設(shè)計
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雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一、 雙曲線的定義 三 例1： 定義的挖掘 二、 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 1、 推導(dǎo)： 2、 對比： |
（片）
這樣的板書設(shè)計目的是為了突出這節(jié)課的主要內(nèi)容和重點，幫助學(xué)生理清思緒，起到提綱
挈領(lǐng)的作用。
四、教學(xué)設(shè)計的想法說明：
我在教學(xué)過程設(shè)計方面注意了三點：
1. 教學(xué)過程的著力點放在了如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣上，這是喚醒學(xué)生主
體認(rèn)識的關(guān)鍵。
2. 教學(xué)過程的重點放在了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力上，而把握重點的關(guān)鍵是如何選擇好創(chuàng)新
精神、實踐能力與課堂教學(xué)的結(jié)合，這個結(jié)合點從學(xué)科來說，就是以科學(xué)知識為載體，培養(yǎng)學(xué)生
的創(chuàng)新思維方法；從教師來說就是“思路、教路、學(xué)路”三者有機(jī)結(jié)合的教學(xué)過程設(shè)計，及其在
課堂中的藝術(shù)展現(xiàn)；從學(xué)生來說，就是親歷、體驗、探究、思考和創(chuàng)造性的解決問題的過程，從
而在過程中獲得逐步發(fā)展。
3. 教學(xué)過程的基本點放在了夯實基礎(chǔ)知識和訓(xùn)練基本技能上，基礎(chǔ)知識的教學(xué)注重了層次性、針對性。
我在教學(xué)理念方面注重了四點
第一是能動性：師生互動、生生互動，學(xué)生主動參與研究過程。
第二是開放性：教學(xué)過程中關(guān)注每個學(xué)生的個性發(fā)展，尊重每個學(xué)生發(fā)展的特殊需要，學(xué)生的思維開放。
第三是生成性：在教學(xué)過程中，學(xué)生的認(rèn)識和體驗不斷加深，創(chuàng)造性的火花不斷進(jìn)發(fā)，學(xué)生的思維資源
被開發(fā)出來，充分利用。
第四是注意了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，既注重了研究性學(xué)習(xí)，又注重了接受性學(xué)習(xí)，教師不把現(xiàn)成結(jié)論告
訴學(xué)生，而是學(xué)生自己在教師指導(dǎo)下自主地發(fā)現(xiàn)問題、探究問題獲得結(jié)論，從而解決問題。對于新概念教學(xué)
的我采取了教授性學(xué)習(xí)方式。
我的說課到此結(jié)束，謝謝大家！