高三復(fù)習(xí)課《二項(xiàng)式定理》說(shuō)課稿
古鎮(zhèn)高級(jí)中學(xué) 高三備課組
高三第一階段復(fù)習(xí)，也稱“知識(shí)篇”。在這一階段，學(xué)生重溫高一、高二所學(xué)課程，全面復(fù)習(xí)鞏固各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握基本方法和技能；然后站在全局的高度，對(duì)學(xué)過的知識(shí)產(chǎn)生全新認(rèn)識(shí)。在高一、高二時(shí)，是以知識(shí)點(diǎn)為主線索，依次傳授講解的，由于后面的相關(guān)知識(shí)還沒有學(xué)到，不能進(jìn)行縱向聯(lián)系，所以，學(xué)的知識(shí)往往是零碎和散亂，而在第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，以章節(jié)為單位，將那些零碎的、散亂的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，并將他們系統(tǒng)化、綜合化，把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通。對(duì)于普通高中的學(xué)生，第一輪復(fù)習(xí)更為重要，我們希望能做高考試題中一些基礎(chǔ)題目，必須側(cè)重基礎(chǔ)，加強(qiáng)復(fù)習(xí)的針對(duì)性，講求實(shí)效。
一、內(nèi)容分析說(shuō)明
1、本小節(jié)內(nèi)容是初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式乘法的繼續(xù)，它所研究的二項(xiàng)式的乘方的展開式，與數(shù)學(xué)的其他部分有密切的聯(lián)系：
（1）二項(xiàng)展開式與多項(xiàng)式乘法有聯(lián)系，本小節(jié)復(fù)習(xí)可對(duì)多項(xiàng)式的變形起到復(fù)習(xí)深化作用。
（2）二項(xiàng)式定理與概率理論中的二項(xiàng)分布有內(nèi)在聯(lián)系，利用二項(xiàng)式定理可得到一些組合數(shù)的恒等式，因此，本小節(jié)復(fù)習(xí)可加深知識(shí)間縱橫聯(lián)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。
（3）二項(xiàng)式定理是解決某些整除性、近似計(jì)算等問題的一種方法。
2、高考中二項(xiàng)式定理的試題幾乎年年有，多數(shù)試題的難度與課本習(xí)題相當(dāng)，是容易題和中等難度的
試題，考察的題型穩(wěn)定，通常以選擇題或填空題出現(xiàn)，有時(shí)也與應(yīng)用題結(jié)合在一起求某些數(shù)、式的
近似值。
二、學(xué)校情況與學(xué)生分析
（1）我校是一所鎮(zhèn)普通高中，學(xué)生的基礎(chǔ)不好，記憶力較差，反應(yīng)速度慢，普遍感到數(shù)學(xué)難學(xué)。但大部分學(xué)生想考大學(xué)，主觀上有學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望。
（2）授課班是政治、地理班，學(xué)生聽課積極性不高，聽課率低（60﹪），注意力不能持久，不能連續(xù)從事某項(xiàng)數(shù)學(xué)活動(dòng)。課堂上喜歡輕松詼諧的氣氛，大部分能機(jī)械的模仿，部分學(xué)生好記筆記。
三、教學(xué)目標(biāo)
復(fù)習(xí)課二項(xiàng)式定理計(jì)劃安排兩個(gè)課時(shí)，本課是第一課時(shí)，主要復(fù)習(xí)二項(xiàng)展開式和通項(xiàng)。根據(jù)歷年高考對(duì)這部分的考查情況，結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)，設(shè)定如下教學(xué)目標(biāo)：
1、知識(shí)目標(biāo)：（1）理解并掌握二項(xiàng)式定理，從項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、通項(xiàng)幾個(gè)特征熟記它的展開式。
（2）會(huì)運(yùn)用展開式的通項(xiàng)公式求展開式的特定項(xiàng)。
2、能力目標(biāo)：（1）教給學(xué)生怎樣記憶數(shù)學(xué)公式，如何提高記憶的持久性和準(zhǔn)確性，從而優(yōu)化記憶品質(zhì)。記憶力是一般數(shù)學(xué)能力，是其它能力的基礎(chǔ)。
（2）樹立由一般到特殊的解決問題的意識(shí)，了解解決問題時(shí)運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法。
3、情感目標(biāo)：通過對(duì)二項(xiàng)式定理的復(fù)習(xí)，使學(xué)生感覺到能掌握數(shù)學(xué)的部分內(nèi)容，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。有意識(shí)地讓學(xué)生演練一些歷年高考試題，使學(xué)生體驗(yàn)到成功，在明年的高考中，他們也能得分。
四、教學(xué)過程
1、知識(shí)歸納
（1）創(chuàng)設(shè)情景：①同學(xué)們，還記得嗎？ 、 、 展開式是什么？
②學(xué)生一起回憶、老師板書。
設(shè)計(jì)意圖：①提出比較容易的問題，吸引學(xué)生的注意力，組織教學(xué)。
②為學(xué)生能回憶起二項(xiàng)式定理作鋪墊：激活記憶，引起聯(lián)想。
（2）二項(xiàng)式定理：①設(shè)問 展開式是什么？待學(xué)生思考后，老師板書
= C an+C an－1b1+…+C an－rbr+…+C bn（n∈N*）
②老師要求學(xué)生說(shuō)出二項(xiàng)展開式的特征并熟記公式：共有 項(xiàng)；各項(xiàng)里a的指數(shù)從n起依次減小1，直到0為止；b的指數(shù)從0起依次增加1，直到n為止。每一項(xiàng)里a、b的指數(shù)和均為n。
③鞏固練習(xí) 填空
，
，
，
設(shè)計(jì)意圖：①教給學(xué)生記憶的方法，比較分析公式的特點(diǎn)，記規(guī)律。
②變用公式，熟悉公式。
（3） 展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C , C , C ,… , 稱為二項(xiàng)式系數(shù).
展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=C an－rbr , 其中r= 0,1,2,…n表示展開式中第r+1項(xiàng).
2、例題講解
例1求 的展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，并求的第4項(xiàng)的系數(shù)。
講解過程
設(shè)問：這里 ，要求的第4項(xiàng)的有關(guān)系數(shù)，如何解決？
學(xué)生思考計(jì)算，回答問題；
老師指明①當(dāng)項(xiàng)數(shù)是4時(shí)， ，此時(shí) ，所以第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是 ，
②第4項(xiàng)的系數(shù)與的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)區(qū)別。
板書
解：展開式的第4項(xiàng)
。
所以第4項(xiàng)的系數(shù)為 ，二項(xiàng)式系數(shù)為 。
選題意圖：①利用通項(xiàng)公式求項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)；②復(fù)習(xí)指數(shù)冪運(yùn)算。
例2 求 的展開式中不含的 項(xiàng)。
講解過程
設(shè)問：①不含的 項(xiàng)是什么樣的項(xiàng)？即這一項(xiàng)具有什么性質(zhì)？
②問題轉(zhuǎn)化為第幾項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，誰(shuí)能看出哪一項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)？
師生討論 “看不出哪一項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，怎么辦？”
共同探討思路：利用通項(xiàng)公式，列出項(xiàng)數(shù)的方程，求出項(xiàng)數(shù)。
老師總結(jié)思路：先設(shè)第 項(xiàng)為不含 的項(xiàng)，得 ，利用這一項(xiàng)的指數(shù)是零，得到關(guān)于 的方程，解出 后，代回通項(xiàng)公式，便可得到常數(shù)項(xiàng)。
板書
解：設(shè)展開式的第 項(xiàng)為不含 項(xiàng)，那么
令 ，解得 ，所以展開式的第9項(xiàng)是不含的 項(xiàng)。
因此 。
選題意圖：①鞏固運(yùn)用展開式的通項(xiàng)公式求展開式的特定項(xiàng)，形成基本技能。
②判斷第幾項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)運(yùn)用方程的思想；找到這一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)后，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
例3求 的展開式中， 的系數(shù)。
解題思路：原式局部展開后，利用加法原理，可得到展開式中的 系數(shù)。
板書
解：由于 ，則 的展開式中 的系數(shù)為 的展開式中 的系數(shù)之和。
而 的展開式含 的項(xiàng)分別是第5項(xiàng)、第4項(xiàng)和第3項(xiàng)，則 的展開式中 的系數(shù)分別是： 。
所以 的展開式中 的系數(shù)為
例4 如果在（ + ）n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng).
解：展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1， ， ，
由題意得2× =1+ ，得n=8.
設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，T =C · ·x ，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8.
有理項(xiàng)為T1=x4，T5= x，T9= .
3、課堂練習(xí)
1.（2004年江蘇，7）（2x+ ）4的展開式中x3的系數(shù)是
A.6 B.12 C.24 D.48
解析：（2x+ ）4=x2（1+2 ）4，在（1+2 ）4中，x的系數(shù)為C ·22=24.
答案：C
2.（2004年全國(guó)Ⅰ，5）（2x3－ ）7的展開式中常數(shù)項(xiàng)是
A.14 B.14 C.42 D.－42
解析：設(shè)（2x3－ ）7的展開式中的第r+1項(xiàng)是T =C （2x3） （－ ）r=C 2 ·
（－1）r·x ，
當(dāng)－ +3（7－r）=0，即r=6時(shí)，它為常數(shù)項(xiàng)，∴C （－1）6·21=14.
答案：A
3.（2004年湖北，文14）已知（x +x ）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是_____________.（以數(shù)字作答）
解析：∵（x +x ）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為128，
∴令x=1，即得所有項(xiàng)系數(shù)和為2n=128.
∴n=7.設(shè)該二項(xiàng)展開式中的r+1項(xiàng)為T =C （x ） ·（x ）r=C ·x ，
令 =5即r=3時(shí)，x5項(xiàng)的系數(shù)為C =35.
答案：35
五、課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明
1、這是一堂復(fù)習(xí)課，通過對(duì)例題的研究、討論，鞏固二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式，加深對(duì)項(xiàng)的系數(shù)、項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)等有關(guān)概念的理解和認(rèn)識(shí)，形成求二項(xiàng)式展開式某些指定項(xiàng)的基本技能，同時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯思維能力，強(qiáng)化方程的思想和轉(zhuǎn)化的思想。
2、在例題的選配上，我設(shè)計(jì)了一定梯度。第一層次是給出二項(xiàng)式，求指定的項(xiàng)，即項(xiàng)數(shù)已知，只需直接代入通項(xiàng)公式即可（例1）；第二層次（例2）則需要自己創(chuàng)造代入的條件，先判斷哪一項(xiàng)為所求，即先求項(xiàng)數(shù)，利用通項(xiàng)公式中指數(shù)的關(guān)系求出，此后轉(zhuǎn)化為第一層次的問題。第三層次突出數(shù)學(xué)思想的滲透，例3需要變形才能求某一項(xiàng)的系數(shù)，恒等變形是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的手段。在求每個(gè)局部展開式的某項(xiàng)系數(shù)時(shí)，又有分類討論思想的指導(dǎo)。而例4的設(shè)計(jì)是想增加題目的綜合性，求的n過程中，運(yùn)用等差數(shù)列、組合數(shù)n等知識(shí)，求出后，有化歸為前面的問題。
六、個(gè)人見解